Jednostavne eksponencijalne i logaritamske jednačine

Do sada smo rešavali samo najosnovnije eksponencijalne jednačine, kao što je

Ovde je , jer je . One kao

su malo teže, ali ako sve svedemo na stepen sa istom osnovom, možemo izjednačiti eksponente i rešiti ih.

Logaritam stepena

Poslednja osobina logaritama koju ćemo raditi je logaritam stepena. Ovde ćemo je izvesti. Počećemo od osnovnog logaritma y:

Sada ćemo ga pretvoriti u stepeni oblik:

Podići ćemo celu jednačinu na n-ti stepen:

Vratićemo ovu jednačinu u logaritamski oblik:

Logaritam proizvoda i količnika

Sećate se da stepeni imaju neke osobine, odnosno za izraze sa stepenima važe neke formule koje možemo da primenimo. Isto tako, logaritmi imaju osobine, tj. formule koje nam pomažu da lakše računamo i uprošćavamo izraze sa logaritmima. Ovde ćemo proći kroz dve ovakve osobine.

Primer 1: Uprostiti izraz:

Rešenje: Prvo, primetimo da ovi naši logaritmi imaju istu osnovu b. Ako nemaju, onda ova osobina neće važiti.

Označićemo prvi od ovih logaritama sa m, a drugi sa n:

Odlučivanje u programu

Već smo primetili da nam je potrebna biblioteka cmath da bismo izveli neka izračunavanja u programu. Na priloženom linku možete naći sve matematičke funkcije kojima biblioteka raspolaže. Probajte da kliknete na ime neke od njih. Na primer pow()… videćete da ima dva parametra i povratnu vrednost i da računa stepen:

Ili funkcija sin() za sinus ugla u radijanima:

ili abs() za apsolutnu vrednost broja:

ili sqrt() za kvadratni koren:

Osobine tačaka, duži i uglova trougla

Srednja linija trougla je duž koja povezuje dva središta susednih stranica trougla. Svaki trougao ima tri srednje linije. Pokušajte sada sami, pomoću GeoGebre, da nacrtate trougao sa temenima L(4, 5), M(-2, -7) i N(-8, 3) i nacrtate njegove srednje linije. Kakav je odnos neke srednje linije i stranice trougla koju ne seče? Izmerite njihove dužine. Šta primećujete?

---

Teorema: Srednja linija trougla podudarna je polovini stranice kojoj je paralelna.

---

Primer 1: Nađimo dužine x i AB:

Grafik logaritamske funkcije

Sada kada nam je logično da koristimo logaritamsku funkciju kao inverz eksponencijalne, iskoristimo tu ideju da nacrtamo grafik logaritamske funkcije. Dakle, ako je

znači da se grafik logaritamske funkcije dobija od grafika eksponencijalne funkcije kada zamenimo x i y, odnosno simetrično u odnosu na pravu y = x:

Inverzne osobine logaritamske funkcije

Logaritam je po definiciji inverzna operacija nekog eksponenta. Zato je logaritamska funkcija inverzna funkcija eksponencijalne funkcije. Sećate li se šta znači inverzna funkcija? Kada napravimo kompoziciju dve međusobno inverzne funkcije, dobijamo x, zar ne? Zato, ako su date funkcije:

onda važi:

Ove formule predstavljaju inverzne osobine logaritamske funkcije. Veoma je važno da primetite da osnove eksponencijalne funkcije i logaritma moraju biti iste!

Primer 1: Nađimo

Trouglovi i njihova podudarnost

Podsetićemo se da smo trouglove klasifikovali na nejednakostranične, jednakokrake i jednakostranične, na osnovu dužina njihovih stranica, a na oštrougle, pravougle i tupougle na osnovu mera njihovih uglova. Trougao se označava na primer sa ΔABC, gde su A, B i C njegova temena, AB = c, AC = b, i BC = c, njegove stranice i ∠CAB = α, ∠ABC = β i ∠BCA = γ njegovi unutrašnji uglovi.

---

Teorema: Zbir mera uglova u trouglu iznosi 180º.

---

Dokaz: Neka je prava p paralelna stranici BC:

Neke sitne razlike

Operatori ++ i — imaju dva oblika – prefiksni, kada se nalaze ispred imena promenljive i postfiksni kada se nalaze iza imena promenljive. Razliku između ova dva oblika najbolje ilustruje sledeći primer:

Dakle, u prefiksnom obliku se prvo izvrši izmena vrednosti promenljive na koju se operator odnosi, a onda se nova vrednost koristi u daljem računanju. U postfiksnom obliku se prethodna vrednost koristi u izračunavanjima, a kada se ona izvrše, menja se vrednost promenljive na koju se operator odnosi.

Mali float brojevi

Šta je množenje? Uzastopno sabiranje? Da li je f + f + f + f + f + f + f + f + f + f = 10f? Naravno da jeste 🙂 Ali, pogledajte:

Pseudoslučajni brojevi

Prošli put smo radili sa celobrojnim deljenjem i ostatkom. To su operacije koje su vrlo zgodne za kreiranje pseudoslučajnih brojeva. Zašto se zovu pseudoslučajni? Zato što nisu zaista slučajni. Mi, u stvari, prvo napravimo tabelu slučajnih brojeva, a onda iz nje vadimo sledeći broj. Da bi napravili tabelu, pozivamo funkciju srand(), a da bi izvukli sledeći broj, funkciju rand(). Ima tu još jedna funkcija time() iz biblioteke ctime, kojom obezbeđujemo da svaki put kada pokrenemo program napravimo drugačiju tabelu slučajnih brojeva. Dobro, kakve ovo veze ima sa celobrojnim deljenjem? Pa, slučajni brojevi su ogromni, a nama često trebaju neki iz zadatog intervala. Tu uskače ostatak pri deljenju.

Napisati program koji generiše slučajan ceo broj između 1 i 10.

Ovde nam treba neki od 10 mogućih brojeva. Zato ćemo od generisanog celog broja uzeti samo 10 mogućnosti – ostatak pri deljenju sa 10. Tako dobijamo broj od 0 do 9. Na kraju ćemo dodati 1 da bismo dobili broj od 1 do 10. Evo i koda i nekoliko rezultata: